ผลความสม่ำเสมอของความยาวเอลิเมนต์ต่อความแม่นยำและอัตราลู่เข้าของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์รูปหลายเหลี่ยมสำหรับปัญหาความเค้นในระนาบ

Abstract

งานวิจัยนี้ทำการศึกษาผลความสม่ำเสมอของความยาวเอลิเมนต์ต่อความแม่นยำและอัตราลู่เข้า ของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์รูปหลายเหลี่ยม (Polygonal Finite Element Method, PFEM) สำหรับปัญหา ความเค้นในระนาบ โดยทำการเพิ่มจำนวนของโหนดลงไปในแต่ละด้านของเอลิเมนต์แบบทรงเหลี่ยมสี่หน้า เพื่อทำให้เอลิเมนต์นั้นกลายเป็นเอลิเมนต์รูปหลายเหลี่ยม กำหนดให้อัตราส่วนของความยาวด้านภายหลัง เพิ่มโหนดต่อความยาวด้านเดิม (α) นั้น อยู่ในช่วง 0.1-0.5 ปัญหาทดสอบสำหรับงานวิจัยในครั้งนี้คือคานยื่นปลายของ Cook ที่ถูกปรับปรุงแล้วในระนาบ 2 มิติรับแรงเฉือนกระทำตามขอบของปลายคานด้านไกล ความละเอียดของโครงตาข่ายแบ่งเป็น 3 กรณี จากโครงตาข่ายความละเอียดน้อยสู่ความละเอียดมาก ทำการศึกษาผลการเปลี่ยนตำแหน่งในแนวดิ่ง ที่ปลายคาน ความเครียดและความเค้น รวมทั้งค่ามาตรฐานความคลาดเคลื่อนของการเปลี่ยนตำแหน่ง โดยเปรียบเทียบผลที่ได้กับโปรแกรมสำเร็จรูปไฟไนต์เอลิเมนท์ที่ใช้เอลิเมนต์แบบรูปทรงสี่หน้าจำนวนมากพอ เพื่อให้ได้ผลเฉลยที่มีความแม่นยำมากพอที่จะใช้เป็นตัวแทนผลเฉลยใกล้เคียงผลเฉลยแม่นตรง (Close-to-Exact Solution) ผลการศึกษาพบว่า อัตราส่วนความสม่ำเสมอความยาวด้านของเอลิเมนต์สำหรับการวิเคราะห์ ปัญหาของแข็งในระนาบด้วยวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์รูปหลายเหลี่ยมนั้น มีความไวต่อค่าความแม่นยำของ การเปลี่ยนตำแหน่งอย่างชัดเจน เมื่อความละเอียดของโครงตาข่ายมากขึ้น ค่าของอัตราส่วนดังกล่าว ณ ตำแหน่งกึ่งกลางความยาวด้าน ให้ค่าที่เหมาะสม (Optimum) ที่สุดในขณะที่ใช้จำนวนเอลิเมนต์และโหนด น้อยกว่าวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ผลลัพธ์ของความเค้น ความเครียดรวมทั้งการกระจายตัวมีลักษณะสอดคล้อง กับค่าที่ได้จากวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์อัตราการลู่เข้าหาผลเฉลยมีค่าความชันเท่ากับ 0.994 ณ อัตราส่วนความ ยาวด้านเท่ากับ 0.5 ซึ่งใกล้เคียงกับค่าเหมาะสม 1.0 ของการวิเคราะห์ปัญหาความเค้นในระนาบเชิงตัวเลข

This research investigates the impact of element length consistency on the accuracy and convergence rate of the polygonal finite element method (PFEM) for plane stress problems. The number of nodes on each side of a quadrilateral element is increased to transform it into a polygonal element. The ratio of the post-node-addition side length to the original side length (α) is varied between 0.1 and 0.5. The benchmark problem is a modified cantilever Cook’s beam subjected to a shear force acting along the edge of the far end of the beam. Meshing is divided into three cases, from coarse to finer mesh. The study investigates the effect of the vertical displacement at the end of the beam, stresses, strains, and the displacement error norm. The results are compared with those of a commercial finite element program using many quadrilateral elements to ensure sufficiently accurate solutions to serve as a reference for the close-to-exact solutions. The study found that the aspect ratio of the element side lengths for the analysis using the polygonal finite element method is clearly sensitive to the accuracy of the displacements. As the mesh refinement increases, the value of the aspect ratio at the midpoint of the side length gives the most suitable (optimum) value while using fewer elements and nodes than the finite element method. The results of stresses, strains, and their distribution are consistent with those obtained from the finite element method. The convergence rate has a slope of 0.994 at an aspect ratio of 0.5, which is close to the optimum value of 1.0 for the numerical analysis of plane stress problems